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martes, 19 de enero de 2010

Números reales en base 2

Sea $x$ un cierto número real que queremos expresar en base 2 de tal forma que una computadora pueda entenderlo y realizar operaciones con él.


Tenemos distintas formas de representar $x$ en base 2. Según como sea $x$, nos convendrá utilizar una u otra representación.

Binario

El caso más fácil es cuando $x$ es un número entero positivo. Lo que hacemos es usar la notación binaria a la que estamos acostumbrados.

Ejemplo: Supongamos como ejemplo que $x=13$. Si para representarlo en binario decidimos utilizar 4 bits, lo representaríamos como:

$13_{10}=1101_{2}$

Pues: $1101_{2}=(1.2^{0}+0.2^{1}+1.2^{2}+1.2^{3} )_{10}=(1+4+8)_{10}=13_{10}$.

Complemento a 2

Otro caso parecido al anterior es cuando $x$ es entero pero negativo.

En este caso lo usual es utilizar la representación por "complemento a 2". En este tipo de representación, el bit más significativo representa el signo del entero $x$ que estamos representando y los restantes bits sirven para codificar la magnitud de dicho entero.

El bit de signo es tal que:
  • bit signo = 1 si $x$ es negativo
  • bit signo = 0 si $x$ es positivo
Ejemplo: Tomemos como ejemplo $x=-5$ y supongamos que nuestra computadora solo nos permite utilizar 4 bits para representarlo.

El bit de signo deberá ser 1 pues $x$ es negativo. Por otro lado la magnitud a codificar es 5. Para codificar esta magnitud nos quedan 3 bits. La codificación de la magnitud la realizamos de la siguiente forma:
  1. Expresamos la magnitud en binario usando los 3 bits que nos quedan disponibles. En este caso $5_{10}=101_{2}$ en binario.
  2. Luego hallamos el complemento a 1 de la expresión anterior. Esto es, invertimos todos los bits de la expresión anterior de tal forma que si un bit vale 1, ahora pasa a valer 0 y a la inversa. Nos queda entonces el 010.
  3. Finalmente, al número obtenido le sumamos 001 y obtenemos 010+001=011.
El 011 obtenido representa la magnitud (es decir: 5) de $x=-5$ en complemento a 2. Por lo tanto $x=-5$ se expresa en complemento a 2 (CA2) como:

$-5_{10}=1011_{CA2}$

Observaciones: En el caso que queramos representar un entero $x$ positivo en complemento a 2, el bit de signo será por supuesto 0 pero la magnitud no se debe codificar como explicamos antes para el caso de $x$ negativo, sino que se toma como magnitud la expresión en binario de dicha magnitud.

Así, si por ejemplo queremos representar el número positivo $x=5$ en CA2, el bit de signo valdría 0 y la magnitud la tomamos como 101. Por lo que se tiene:

$5_{10}=0101_{CA2}$

En la siguiente tabla se muestra como se expresan los números del -8 al 7 usando CA2 de 4 bits:

Expresión en CA2Equivalente decimal
bit3bit2bit1bit0
01117
01106
01015
01004
00113
00102
00011
00000
1111-1
1110-2
1101-3
1100-4
1011-5
1010-6
1001-7
1000-8

Punto fijo

Supongamos ahora el caso en que el número $x$ a representar ya no es entero sino que es un número fraccionario. Es decir que se puede escribir de la forma $x=\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ números enteros. En este caso lo usual es expresar el número en "punto fijo".

Ejemplo: Tomemos como ejemplo el número $x=\frac{23}{4}=5,75$. La parte entera de este número es 5 y la parte fraccionaria es 0,75. Supongamos que en nuestra computadora solo disponemos de 8 bits para representar este número. Supongamos además que decidimos utilizar 4 de esos bits para representar la parte entera y los restantes 4 bits para representar la parte fraccionaria. Lo que hacemos es:
  1. Primero escribimos la parte entera del número en forma binaria utilizando 4 bits. En este caso ya sabemos que $5_{10}=0101_{2}$
  2. Luego debemos escribir la parte fraccionaria. En este caso la parte fraccionaria será $0,75_{10}$ que se escribe como: $0,75_{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1.2^{-1}+1.2^{-2}+0.2^{-3}+0.2^{-4}=0,1100_{2}$.
Por lo tanto $x=\frac{23}{4}=5,75$ se expresa en punto fijo como:

$5,75_{10}=0101,1100_{PFijo}$

Punto flotante

Existe otra forma de expresar números reales fraccionarios que se denomina de "coma flotante" o también de "punto flotante".

Esta es similar a la notación científica donde se utilizan expresiones de la forma: $-3,2*10^{-6}$. En este tipo de expresión se observan cuatro componentes:
  • El signo; que en el ejemplo dado toma el valor -1 
  • Lo que se denomina significando o mantisa; que en este caso toma el valor 3.2 
  • la base; que en este caso vale 10 
  • el exponente; que en el ejemplo toma el valor -6 
La notación binaria de punto flotante toma una forma muy similar a la de la notación científica pero utiliza una base de valor 2.

El formato de punto flotante mayormente utilizado es el IEEE 754 de precisión simple. Este utiliza 32 bits para expresar el número y toma la forma (en base 10):

$(-1)^{signo}*significando*2^{exponente-127}$

Expresar (o almacenar) este número en punto flotante binario consiste ahora en expresar el signo, el significando y el exponente en forma binaria utilizando los 32 bits disponibles.

Lo más sencillo es expresar el signo. Para esto se utiliza un único bit de los 32 disponibles (el bit 31 más significativo) y, al igual que en el caso de "complemento a 2", este toma el valor 0 si el número a expresar es de signo positivo y el valor 1 si el número a expresar es negativo. Es decir:

$signo = 0$ si $x>0$
$signo = 1$ si $x<0$

Para expresar el exponente se utilizan 8 bits (los bits 23 al 30) de los 32 disponibles.

Finalmente para expresar el significando se utilizan 23 bits (los bits 0 al 22 menos significativos).

Referencias

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